Question

В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке О. AO=6√3, а угол BAC=120°. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Answer 1

Дано: АА1, СС1-биссектриссы, АО = $6 sqrt{3}$, ∠ВАС = 120°.
Найти: r = ?
Решение: 
1) Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точкой пересечения его биссектрис.
О - центр окружности.
2) Из ΔАОС опустим высоту, которая является r окружности.
3) Рассмотрим ΔОНА. Он прямоугольный, потому что ∠Н = 90°
sin∠А=ОН/ОА=$frac{ sqrt{3}}{2}$.
Пусть х - OH, тогда
$frac{sqrt{3}}{2} = frac{x}{6sqrt{3}} ;$
2х=$sqrt{3} * 6sqrt{3}$=18
х=ОН=r=9.
Ответ: r = 9

Answer 2

Высота = ОН