Question

Решить вариант номер 23, примеры 1,4,5

Answer 1

$1); ; x+y'(y+xy)=0\\frac{dy}{dx}cdot ycdot (1+x)=-x\\ ycdot dy=frac{-x, dx}{x+1} \\int y, dy=- int frac{(x+1)-1}{x+1}dx\\ int y, dy=-int (1-frac{1}{x+1})dx\\ frac{y^2}{2}=-(x-ln|x+1|)+C\\frac{y^2}{2}=ln|x+1|-x+C\\star ; ; int frac{dx}{ax+b}=frac{1}{a}cdot ln|ax+b|+C; ; star$

$4); ; (xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0\\x(y^2+1)dx=-y(1-x^2)dy\\ int frac{x, dx}{1-x^2} =- int frac{y, dy}{y^2+1} \\-frac{1}{2}int frac{-2x, dx}{1-x^2} =-frac{1}{2}int frac{2y, dy}{y^2+1}; ,\\star u=1-x^2; ,du=-2x, dx,; v=y^2+1,dv=2y, dy; star\\-frac{1}{2}int frac{du}{u}=- frac{1}{2} int frac{dv}{v} \\ln|u|=ln|v|+ln|C|\\u=Cv\\1-x^2=C(y^2+1)$

$5); ; y'= frac{xcdot sinx}{ycdot cosy} \\ frac{dy}{dx} = frac{xcdot sinx}{ycdot cosy} \\ int ycdot cosy, dy=int xcdot sinx, dx\\int ycdot cosy, dy=[, u=y,; du=dy,; dv=cosy, dy,; v=siny, ]=\\=ycdot siny-int siny, dy=ycdot siny+cosy+C_1\\int xcdot sinx, dx=[, u=x,; du=dx,; dv=sinx, dx,; v=-cosx, ]=\\=-xcdot cosx+int cosx, dx=-xcdot cosx+sinx+C_2\\\ycdot siny+cosy=-xcdot cosx+sinx+C; ; -; ; otvet$