Question

Пожалуйста: Около шара описана правильная усеченная четырехугольная пирамида, у которой длины сторон оснований относятся как m/n. Определить отноешние объемов пирамиды и шара

Answer 1

Можно выбрать такую систему единиц измерения длин, что сторона квадрата в нижнем основании усеченной пирамиды равна m, а в верхнем n;

Ясно, что высота пирамиды равна диаметру шара H = D;

Объем шара Vs = (4*π/3)*(D/2)^3 = (π/6)*D^3;

Объем усеченной пирамиды равен

V = (H/3)*(S1 + √(S1*S2) + S2) = (D/3)*(m^2 + m*n + n^2);

Vs/V = (π/2)*D^2/(m^2 + m*n + n^2);

то есть надо найти высоту пирамиды H = D.

Сечение, проходящее через точки касания шара с основаниями и противоположными боковыми гранями - это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность диаметра H.  Её основания - это "средние линии" квадратов в основаниях, то есть они равны m и n.

По свойству описанных четырехугольников, суммы противоположных сторон равны, то есть боковая сторона этой трапеции равна (m + n)/2;

Если в этой трапеции из вершины меньшего основания опустить высоту, то она отсечет от большего основания отрезок (m - n)/2; (считая от ближайшей вершины, второй отрезок равен (m + n)/2; ) 

H^2 = ((m + n)/2)^2 - ((m - n)/2)^2 = m*n; осталось подставить.

Vs/V = (π/2)*(m*n)/(m^2 + m*n + n^2); это ответ.

если положить p = m/n; то

Vs/V = (π/2)*p/(p^2 + p + 1);