Question

с помощью векторов докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, на которые он делит гипотенузу.

Answer 1

Пусть основание высоты (на гипотенузе) - это точка О. С - вершина прямого угла. Тогда высота - это вектор h = ОС, отрезки гипотенузы k = OA; p = BО;

(*****первая точка означает начало вектора, вторая - конец, к примеру, ОА = - АО)

и стороны треугольника можно записать так

CB = p + h;

CA = k - h;

BA = k + p; 

Поскольку  АВС прямоугольный треугольник, то

(k + p)^2 = (k - h)^2 + (p + h)^2; 

Раскрываем скобки.

k^2 + 2kp + p^2 = k^2 - 2kh + h^2 + p^2 + 2ph + h^2;

Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0. 

Скалярное произведение kp = kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны. 

Поэтому

kp = h^2; чтд.