Question

Решите уравнения пожалуйста
x^4+x^3-5x^2-7x+10 / x^3+5x^2+9x+5 =0

Answer 1

ОДЗ: x^3+5x^2+9x+5 не=0.
исходное уравнение равносильно системе:
x^4+x^3 - 5x^2 - 7x + 10 = 0 и x^3+5x^2+9x+5 не=0.
Рассмотрим предпоследнее уравнение: будем искать целочисленный корень: данное уравнение - это алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, поэтому если целочисленный корень существует, то он является делителем свободного члена (делителем 10).
Перебирая делители 10 находим x1 = 1
1+1 - 5 - 7 + 10 = 0.
x^4 + x^3 - 5x^2 - 7x + 10 = (x^4 - x^3) + 2x^3 - 5x^2 - 7x + 10 = 
= x^3*(x-1) + 2x^3 - 2x^2 - 3x^2 - 7x + 10 = x^3*(x-1) + 2x^2*(x-1) - 3x^2 + 3x - 10x + 10 = x^3*(x-1) + 2x^2*(x-1) - 3x*(x-1) - 10*(x-1) = 
 = (x-1)*(x^3 + 2x^2 - 3x - 10) = 0.
x-1 = 0 или x^3 + 2x^2 - 3x - 10 = 0.
x=1 или
x^3+2x^2 - 3x - 10 = 0.
Опять перебираю целые делители свободного члена последнего уравнения, находим еще один целочисленный корень x2 = 2,
2^3 + 2*2^2 - 3*2 - 10 = 8 + 8 - 6 -10= 0.
x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 3x - 10 = x^2*(x-2) + 4x^2 - 8x + 5x - 10 = 
= x^2*(x-2) + 4x*(x-2) + 5*(x-2) = (x-2)*(x^2 + 4x + 5) = 0.
x-2 = 0 или x^2+4x + 5 = 0.
x=2 или
x^2 + 4x + 5 = 0.
D = 4^2 - 4*5<0, поэтому последнее уравнение решений не имеет.
Остается только проверить найденные корни x=1, x=2, подставляя в исходное уравнение. Они подходят (знаменатель не обращается в ноль при этих значениях).
Ответ. {1; 2}