Question

1) Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не чувствовала удара? Саблю считать однородной пластиной длиной l.

2)Однородный сосновый брус, массой М (далее условие на фото)

Задачи 10.9 и 10.10 с фото пожалуйста

Answer 1

10.09

Задача состоит в том, чтобы сабля крутилась в руке, как в шарнире, и при этом сила реакции в шарнире была равна нулю. Из этого и исходим.

Заметим, что центр масс сабли отстоит от руки на L/2 – где L – длина сабли, тогда для скорости центра масс верно, что:

v = ωL/2 ;

2a = Lω' ;        [1]

Когда сабля бьёт лозу, сабля испытывает реакцию лозы N, и по закону Ньютона для центра масс, с учётом отсутствия реакции в области рукоятки, получается, что:

a = N/m ;       [2]

Пусть сабля рубит лозу на удалении x от руки, тогда по закону Ньютона во вращательной форме получаем:

ω' = Nx/J ,     [3]

где J = mL²/3 – момент инерции сабли относительно рукоятки.

Подставим [2] и [3] в [1] и получим:

2N/m = LNx/J ;

2/m = 3Lx/mL² ;

x = [2/3] L ;

Лозу нужно рубить саблей на расстоянии 2/3 от рукоятки.

*** в решении мы пренебрегли незначительной, по сравнению с силой удара силой тяжести и углом наклона сабли. Этот ответ наиболее верен, когда сабля рубит лозу в вертикальном положении сабли. В иных случаях, в зависимости от наклона сабли, а так же в зависимости от толщины лозы (и как следствие – силы и скорости удара) – идеальная точка удара может незначительно сдвигаться от 2/3 .






10.10

Данная задача решается довольно просто, поскольку нам уже дано изменение скорости ядра, при котором, по всей видимости (что нужно будет проверить неравенством), теряется механическая энергия.

Итак: начальный импульс ядра: m vo ;

Начальный момент импульса ядра относительно оси ОО': (L–a) m vo ;

Конечный импульс ядра (сразу после удара) по горизонтальной оси равен нулю, а значит, и конечный момент импульса ядра равен нулю. Тогда изменение момента импульса ядра относительно оси ОО' равно его начальному моменту импульса. Всё это изменение момента импульса ядра превратится в момент импульса дощатого бруса. Обозначив угловую скорость и момент инерции дощатого бруса, соответственно, как: ω и J , мы можем записать:

Jω = (L–a) m vo ;         [1]

Кинетическая энергия дощатого бруса равна Jω²/2 и вся она перейдёт в потенциальную энергию, когда он поднимется, повернувшись на угол φ. Нижняя кромка бруса при повороте на угол φ окажется на Lcosφ ниже оси OO'. Таким образом, нижняя кромка поднимется от начального уровня на величину L(1–cosφ), а поскольку центр масс точно вдвое ближе к оси OO', чем нижняя кромка, то общее поднятие центра масс бруса при его повороте на угол φ составит L(1–cosφ)/2 , а изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести будет равно: MgL(1–cosφ)/2 . Когда вся кинетическая энергия перейдёт в потенциальную, дощатый брус как раз и окажется в своей верхней точке, т.е. в положении максимального отклонения. Итак, учитывая превращение кинетической энергии в потенциальную, мы можем записать:

Jω²/2 = MgL(1–cosφ)/2 ;

J²ω² = MgJL(1–cosφ) ;

Учтём, что J = ML²/3, тогда:

J²ω² = M²L³g(1–cosφ)/3 ;

Jω = ML√[Lg(1–cosφ)/3] ;

Приравняем к этому уравнение [1] и получим:

(L–a) m vo = ML√[Lg(1–cosφ)/3] ;

vo = [M/m] L/[L–a] √[Lg(1–cosφ)/3] ;

vo = M/[m(1–a/L)] √[Lg(1–cosφ)/3] ;

Проверим ещё, что кинетическая энергия в системе не возрастает, что было бы абсурдом:

vo² = ( M / [m(1–a/L)] )² Lg(1–cosφ)/3 ;

Тогда начальная кинетическая энергия равна:

Eo = mvo²/2 = ( M / [1–a/L] )² Lg(1–cosφ)/[6m] ;

А конечная кинетическая энергия, равная потенциальной, должна быть не больше начальной кинетической:

MgL(1–cosφ)/2 < ( M / [1–a/L] )² Lg(1–cosφ)/[6m] ;

1 < M/[3m(1–a/L)²] ;

(1–a/L)² < M/[3m] ;

1–a/L < √[M/(3m)] ;





ОТВЕТ

при выполнении условия 1–a/L < √[M/(3m)] – начальная скорость описанного движения ядра должна была бы быть:

vo = M/[m(1–a/L)] √[Lg(1–cosφ)/3] .