Question

Пожалуйста объясните вот это:
Текст из учебника:
Решим неравенство $sqrt{x-1} textless 3-x$
Решение. Область допустимых значений переменной определяется из условия x-1≥0 (Это мне понятно, т.к. в четной степени корень есть число неотрицательное). <<< Но по смыслу данного неравенство должно выполняться и условие 3-x>0, поскольку левая его часть - арифметический корень. >>> При этих условиях обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно использовать метод возведения в квадрат. Если обе части исходного неравенства возвести в кадрат, то, учитывая указанные выше условия, получим следующую систему неравенств:
$left { {{x-1 geq 0 textgreater } atop {3-x textgreater 0; quad (x-1) textless (3-x)^2}} right.$
или
$left { {x geq 1} atop {x textless 3; quad (x-2)(x-5) textgreater 0}} right.$


Многое тут ясно вроде. Только вот это не получается нормально понять:
Но по смыслу данного неравенство должно выполняться и условие 3-x>0, поскольку левая его часть - арифметический корень.
Почему 3-x < БОЛЬШЕ 0? Не буду расписывать свои размышления, они есть) Но не могу привести их к ясному и точному умозаключению.

Answer 1

Вы правильно расуждаете.
Иррациопальное неравенство   $sqrt[2k]{f(x)}<g(x)$   равносильно системе неравенств:
             $left{begin{array}{c}f(x) geq 0\g(x) textgreater 0\f(x) textless (g(x))^{2k}end{array}right$ 

Так как сам корень чётной степени принимает неотрицательные значения (положительные значения и ноль), то больше него может быть только положительное значение, поэтому выражение справа строго положительно. 
 
$sqrt{x-1} textless 3-x; ; Leftrightarrow ; ; left{begin{array}{c}x-1 geq 0\3-x textgreater 0\x-1 textgreater (3-x)^2end{array}right\\\ left{begin{array}{c}x geq 1\x textless 3\x-1 textless 9-6x+x^2end{array}right; ; left{begin{array}{c}x geq 1\x textless 3\x^2-7x+10 textgreater 0end{array}right; ; left{begin{array}{cc}1 leq x textless 3\(x-2)(x-5) textgreater 0end{array}right. \\\ left{begin{array}{cc}xin [, 1,3)\xin (-infty ,2)cup (5,+infty )end{array}right; ; Rightarrow quad xin [, 1,2)$

Answer 2

А если нестрогое неравенство, допустим: √(x-1) ≤ 3-x, то каким будет система? (ОДЗ). x-1≥0, 3-x≥0 (теперь больше или равно справа?) ? ...Может можно решать иррациональные неравенства как иррациональные уравнения? Устанавливать ОДЗ, решать как уравнение, в итоге указать отрезок принадлежности x. А то всё это с иррациональным неравенством запутывает

Answer 3

...прошу прощения за свою тупость, по её вине и вопросы не те и неправильные задаю. Вроде приходит "понимание очевидного"(пусть и со скоростью улитки). Вы же написали: "Так как сам корень чётной степени принимает неотрицательные значения (положительные значения и ноль), то больше него может быть только положительное значение, поэтому выражение справа строго положительно."

Answer 4

Значит исходим из того, что минимальное значение слева может быть 0, (а равенство в данном случае строгое), поэтому выражение справа обязательно должно быть БОЛЬШЕ минимального значения слева?

Answer 5

Да, правильно. Если задано неравенство со строгим знаком, то выражение справа строго больше 0 . А если исходное неравенство было нестрогим, то справа выражение будет больше или равно нулю.