Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО! Даю 99 баллов за задание!!! Решите 6-7примеров на Тему “Вычисление неопределенных интегралов методом интегрирования по частям” По возможности, сфотографируйте решение и выложите картинками, буду очень признателен!

Answer 1

$intlimits{x^2e^-^4^x} , dx$
для решения используем метод интегрирования по частям $intlimits{u} , dv=uv- intlimits{v} , du$ пусть $u(x)=x^2$ и пусть $dv(x)=e^-^4^xdx$ затем $du(x)=2x,dx$
для того чтобы найти $v(x)$ сделаем следующие допущения: пусть $u=-4x$ тогда пусть $du=-4dx$ и подставим $-frac{du}{4}$
$intlimits{e^u} , du$ интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции $intlimits{e^u} , du = - frac{1}{4} intlimits{e^u} , du$ интеграл от экспоненты есть он же сам $intlimits{e^u} , du =e^u$
таким образом результат будет $- frac{e^u}{4}$ проведем обратную замену переменной $- frac{1}{4}e^-^4^x$
при решении под-интеграла также используем интегрирование по частям по той же схеме, поэтому буду писать только сами действия без пояснений
$intlimits{u} , dv =uv- intlimits{v} , du \ u(x)=- frac{x}{2} \ dv(x)=e^-4x,dx \ du(x)=- frac{1}{2},dx \ u=-4x \ du=-4dx \ \ intlimits{e^u} , du =- frac{1}{4} intlimits{e^u} , du= -frac{1}{4} e^u \ \ -frac{1}{4}e^-^4^x$
интеграл от произведения функции на константу есть константа на интеграл от функции
$intlimits { frac{1}{8} e^-^4^x} , dx= frac{1}{8} intlimits{e^-^4^x} , dx$
аналогично проведя те же манипуляции получим
$- frac{1}{32}e^-^4^x$
в итоге получаем следующую функцию
$frac{x^2}{4}e^-^4^x- frac{x}{8}e^-^4^x- frac{1}{32}e^-^4^x+const \ \ -frac{1}{32}(8x^2+4x+1)e^-^4^x+const$


$intlimits ({2x^2-15)cos(3x)} , dx \ intlimits {u} , dv =uv- intlimits {v} , du \ u(x)=2x^2-15 \ dv(x)=cos(3x),dx \ du(x)=4x,dx \ du=3,dx \ \ intlimits{cos u} , du= frac{1}{3} intlimits {cos u} , du= frac{1}{3} sin u = frac{1}{3}sin (3x) \ \ \ u(x)= frac{4x}{3} \ dv(x)=sin(3x),dx \ du(x)= frac{4}{3},dx \ u=3x \ du=3dx \ intlimits{sin u} , du= frac{1}{3} intlimits {sinu} , du=- frac{1}{3}cos (u) = - frac{1}{3}cos(3x)$
$intlimits {- frac{4}{9}cos (3x)} , dx=- frac{4}{9} intlimits{cos 3x} , dx \ u=3x \ du=3dx \ frac{1}{3} intlimits{cos u} , du= frac{1}{3}sin (u)= frac{1}{3}sin (3x) \ \ - frac{4}{27}sin (3x) \ \ \ frac{4x}{9}cos (3x)+ frac{1}{3}(2x^2-15)sin(3x)- frac{4}{27}sin(3x)+const$

$intlimits{ln(4x^2+1)} , dx \ intlimits {u} , dv =uv- intlimits {v} , du \ u(x)=ln(4x^2+1) \ dv(x)=1 dx \ du(x)= frac{8x}{4x^2+1},dx \ intlimits {1} , dx=x \ intlimits{ frac{8x^2}{4x^2+1} } , dx=8 intlimits { frac{x^2}{4x^2+1} } , dx= intlimits { frac{1}{4}- frac{1}{16x^2+4} } , dx= frac{x}{4}- frac{1}{4} intlimits {- frac{1}{4x^2+1} } , dx \ u=2x \ du=2dx \ intlimits { frac{1}{2u^2+2} } , du$
$intlimits{ frac{1}{2u^2+2} } , dx= frac{1}{2} intlimits{ frac{1}{u^2+1} } , dx= frac{1}{2}arctan(u)= frac{1}{2}arctan(2x) \ - frac{1}{8}arctan(2x) \ frac{x}{4} - frac{1}{8}arctan(2x) \ 2x-arctan(2x) \ xln(4x^2+1)-2x+arctan(2x)+const$