Question

Решите неравенство: 2^(x/(x+1))-2^((5x+3)/(x+1))+8≤2^((2x)/(x+1))

Answer 1

$2^{ frac{x}{x+1} }- 2^{ frac{5x+3}{x+1} }+8 leq 2^{ frac{2x}{x+1}$

ОДЗ: 
$x+1 neq 0$
$x neq -1$

$2^{ frac{x}{x+1} }- 2^{ frac{2x}{x+1} } leq 2^{ frac{5x+3}{x+1} }-8$

$2^{ frac{x}{x+1} }- (2^{ frac{x}{x+1}})^2 } leq 2^{ frac{3x+3}{x+1} }* 2^{ frac{2x}{x+1} } -8$

$2^{ frac{x}{x+1} }- (2^{ frac{x}{x+1}})^2 } leq 2^{ frac{3(x+1)}{x+1} }* (2^{ frac{x}{x+1}} )^{2} } -8$

$2^{ frac{x}{x+1} }- (2^{ frac{x}{x+1}})^2 } leq 2^{3}* (2^{ frac{x}{x+1}} )^{2} } -8$

$2^{ frac{x}{x+1} }- (2^{ frac{x}{x+1}})^2 } leq 8* (2^{ frac{x}{x+1}} )^{2} } -8$

Замена:
$2^{ frac{x}{x+1} }=t,$ $t textgreater 0$

$t-t^2 leq 8t^2-8$

$t-t^2-8t^2+8 leq 0$

$-9t^2+t+8 leq 0$

$9t^2-t-8 geq 0$

$D=(-1)^2-4*9*(-8)=289$

$t_1= frac{1+17}{18}=1$

$t_1= frac{1-17}{18}=- frac{8}{9}$

     +                     -                 +
-----------[-8/9]------------[1]-------------
/////////////                         /////////////
---------------------(0)---------------------
                           //////////////////////

$t geq 1$

$2^{ frac{x}{x+1} } geq 1$

$2^{ frac{x}{x+1} } geq2^0$

${ frac{x}{x+1} } geq0$
 
        +                 -                    +
--------------(-1)------------[0]------------------
/////////////////                      ////////////////////

Ответ: $(-$ ∞ $;-1)$ ∪ $[0;+$ ∞ $)$