Question

Можно тут решать как 1/x^2? $intlimits { frac{1}{(x^2+y^2+2x+1)^2 } , dx$

Answer 1

Поскольку не задана зависимость у=f(x) и интегрирование производится по dx то переменная у принимается как константа.
$intlimits{ frac{1}{(x^2+y^2+2x+1)^2} } , dx= intlimits{ frac{1}{((x^2+2x+1)+y^2)^2} } , dx=intlimits{ frac{1}{((x+1)^2+y^2)^2} } , d(x+1)=$$intlimits{ frac{1}{y^4( frac{(x+1)^2}{y^2}+1)^2} } , d(x+1)= frac{1}{y^3} intlimits{ frac{1}{( frac{(x+1)^2}{y^2}+1)^2} } , d(frac{x+1}{y})$

Замена переменных 
$frac{x+1}{y} =tgt$
Следовательно
$d(tgt)= frac{dt}{cos^2t}$
$frac{1}{y^3} intlimits{ frac{1}{( frac{(x+1)^2}{y^2}+1)^2} } , d(frac{x+1}{y})= frac{1}{y^3} intlimits{ frac{1}{( tg^2t+1)^2} } , d(tgt)=frac{1}{y^3} intlimits{ frac{cos^4t}{cos^2t} } , dt=$$frac{1}{y^3} intlimits{ cos^2t , dt=frac{1}{y^3} intlimits{ frac{cos2t+1}{2} , dt=frac{1}{2y^3}(intlimits{ cos2t , dt+intlimits{ , dt)=$$frac{1}{2y^3}( frac{1}{2}sin2t+t)+C=frac{sin2t+2t}{4y^3}+C$

Обратная замена переменных для этого применяем универсальную тригонометрическую подстановку $sinx= frac{2t}{1+t^[tex]где [tex]t=tg frac{x}{2}$

В нашем случае необходимо заменить sin2t
 
$sin2t = frac{2tgt}{1+tg^2t}= frac{2 frac{x+1}{y} }{1+( frac{x+1}{y} )^2}= frac{2y(x+1)}{y^2+(x+1)^2}$
Подставляем полученное выражение

$frac{sin2t+2t}{4y^3}+C= frac{ frac{2y(x+1)}{y^2+(x+1)^2}+arctg( frac{x+1}{y} ) } {4y^3}+C$

Можно дальше упрощать, но думаю не имеет смысла 

Answer 2

знаменатель

Answer 3

зз

Answer 4

простите з плохо работает на клаве

Answer 5

Прости не заметил. Сейчас перепишу

Answer 6

Не успел правильно записать универсальную тригонометрическую подстановку. sin(x) = 2tg(x/2)/(1+(tg(x/2))^2)