Question

Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 3, а эксцентриситет=5/3.

Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами=8

Answer 1

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$
где а - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.
Действительную полуось мы знаем, найдём мнимую из уравнения эксцентриситета:
$e=sqrt{1+frac{b^2}{a^2}}\sqrt{1+frac{b^2}9}=frac53\1+frac{b^2}9=frac{25}9\frac{b^2}9=frac{16}{9}\b^2=16\b=4$
$frac{x^2}9-frac{y^2}{16}=1$ - искомое уравнение.

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1,;a+b=8,;2c=8Rightarrow c=4\\begin{cases}a+b=8\a^2=b^2+c^2end{cases}Rightarrowbegin{cases}a=8-b\(8-b)^2=b^2+16end{cases}\(8-b)^2=b^2+16\64-16b+b^2=b^2-16\16b=80\b=5\begin{cases}a=3\b=5end{cases}$
$frac{x^2}{9}+frac{y^2}{25}=1$ - искомое уравнение.