Question

Помогите с номером 165

Answer 1

$1)quad int 5x^{-frac{4}{5}}dx=5cdot frac{x^{frac{1}{5}}}{1/5} +C=25x^{frac{1}{5}}+C; ;\\(25x^{ frac{1}{5}}+C)'= }25cdot frac{1}{5}cdot x^{ frac{1}{5}-1 }+0=5x^{- frac{4}{5} }=f(x)\\2)quad int frac{1}{xsqrt[3]{x}} dx=int x^{-frac{4}{3} }dx= frac{x^{-frac{1}{3}}}{-1/3}+C=-3x^{-frac{1}{3}}+C}\\(-3x^{- frac{1}{3} }+C)'=-3cdot frac{-1}{3}x^{ -frac{1}{3}-1 }+0=x^{-frac{4}{3}}=frac{1}{xsqrt[3]{x}}=f(x)$

$3)quad int frac{2x^{-1}+3x}{4x^3} dx=int ( frac{2x^{-1}}{4x^3}+frac{3x}{4x^3} )dx=int ( frac{1}{2x^4}+frac{3}{4x^2} )dx=\\=int ( frac{1}{2} cdot x^{-4}+ frac{3}{4} cdot x^{-2})dx= frac{1}{2}cdot frac{x^{-3}}{-3}+frac{3}{4}cdot frac{x^{-1}}{-1}}+C=-frac{x^{-3}}{6}-frac{3x^{-1}}{4} +C; ;\\(- frac{x^{-3}}{6}-frac{3x^{-1}}{4} )'=- frac{1}{6}cdot (-3)cdot x^{-4}-frac{3}{4}cdot (-1)cdot x^{-2}=frac{1}{2x^4}+frac{3}{4x^2}=f(x)$

$4)quad int (x^5+x)^2dx= int (x^{10}+2x^6+x^2)dx=$

$=frac{x^{11}}{11}+2cdot frac{x^7}{7}+frac{x^3}{3}+C; ;\\( frac{x^{11}}{11} + frac{2}{7}cdot x^7+frac{1}{3}cdot x^3)'= frac{1}{11}cdot 11x^{10}+frac{2}{7}cdot 7x^6+frac{1}{3}cdot 3x^2+0=\\=x^{10}+2x^6+x^2=(x^5+x)^2=f(x)$