Question

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Answer 1

1) $displaystyle 2Log_3^2(2cosx)-5log_3(2cosx)+2=0$

$ODZ: 2cosx textgreater 0 (- pi /2+2 pi N; pi /2+2 pi N)$

$log_32cosx=t$

$displaystyle 2t^2-5t+2=0 D= 25-16=9=3^2 t_1=2 t_2=1/2$

$log_32cosx=2 2cosx=9 cosx=9/2$

$log_32cosx=1/2 2cosx= sqrt{3} cos x= sqrt{3}/2 x= +- pi /6+2 pi n, nin Z$

$[ pi ;5 pi 2] x=2 pi + pi /6=13 pi /6 x=2 pi - pi /6=11 pi /6$

*********************

2) $displaystyle 2^{4cosx}+3*2^{2cosx}-10=0 2^{2cosx}=t$

$t^2+3t-10=0 D=9+40=49=7^2 t_1=-5 t_2=2$

$2^{2cosx} neq -5$

$2^{2cosx}=2 2cosx=1 cosx=1/2 x= +/- pi /3+2 pi N, nin Z$

$[ pi ;5 pi /2] x=2 pi - pi /3=5 pi /3 x=2 pi + pi /3=7 pi /3$

*************************

3) $displaystyle sin2x+2cos(x- pi /2)= sqrt{3}cosx+ sqrt{3} 2sinx*cosx+2(cosx*cos pi /2 +sinx*sin pi /2)= sqrt{3}(cosx+1) 2sinx*cosx+2sinx= sqrt{3}(cosx+1) 2sinx(cosx+1)= sqrt{3}(cosxx+1)$

$cosx+1=0 cosx=-1 x= pi +2 pi N, Nin Z$

$2sinx= sqrt{3} sinx= sqrt{3}/2 x= pi /3+2 pi N, Nin Z x=2 pi /3+2 pi N, Nin Z$

$[-3 pi ;-3 pi /2] x=-3 pi x=-2 pi + pi /3=-5 pi /3$

*****************

4) $displaystyle 2log_9^2x-3log_3x+1=0$

$ODZ: x textgreater 0$

$2t^2-3t+1=0 D=1 t_1=1 t_2=1/2$

$log_9x=1 x=9$

$log_9x=1/2 x=3$

$[ sqrt{10}; sqrt{99}] x=9$