Question

Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости: f(x)=ln⁡(6+x-x^2) .

Answer 1

$f(x)=ln(6+x-x^2)\\f(x)=ln(-(x^2-x-6))=ln(-(x+2)(x-3))=ln((x+2)(3-x))=\\=ln(x+2)+ln(3-x)=lnleft (2(1+frac{x}{2})cdot 3(1-frac{x}{3})right )=\\=lnleft (6cdot (1+ frac{x}{2})(1-frac{x}{3})right )=ln6+ln(1+frac{x}{2})+ln(1- frac{x}{3}) \\star ; ; ln(1+x)=x- frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n}frac{x^{n}}{n} +...; ; ; xin [-1,1)star \\ln(1+ frac{x}{2} )= frac{x}{2}-frac{x^2}{2^2cdot 2}+frac{x^3}{2^3cdot 3}-...+(-1)^{n}cdot frac{x^{n}}{2^{n}cdot n}+...$

$frac{x}{2} in [-1,1); ; to ; ; xin [-2,2)\\ln(1-frac{x}{3})=- frac{x}{3}-frac{x^2}{3^2cdot 2}-frac{x^3}{3^3cdot 3}-...-frac{x^{n}}{3^{n}cdot n} -...\\-frac{x}{3}in [-1,1); ; to ; ; xin [-3,3)\\f(x)=ln6+sumlimits _{n=1}^{infty }(-1)^{n}}frac{x^{n}}{2^{n}cdot n} -sumlimits _{n=1}^{infty }}frac{x^{n}}{3^{n}cdot n} =\\=ln6+sumlimits _{n=1}^{infty }, frac{x^{n}}{{n}}cdot (frac{(-1)^{n}}{2^{n}} - frac{1}{3^{n}} )=$

$=ln6+sumlimits _{n=1}^{infty } frac{x^{n}}{n}cdot frac{(-1)^{n}cdot 3^{n}-2^{n}}{6^{n}}; ,; ; xin [-2,2)cap[-3,3)=[-2,2)$

Answer 2

Сходимость нужно было показать по какому-либо признаку. Автор ответа, наверное, упустила этот шаг.

Answer 3

ой блин, щас забыл, я проверял сходимость и не учел, что в самом ряду там (-1)^(n-1)

Answer 4

хотя к сожалению не дало прояснений, ладно может автор прокомментирует)

Answer 5

забавно. что эти значения каждые подставить в соответствующие ряды, будет получаться гармонический ряд

Answer 6

если я так понял, -3 и 3 не будут интервалами , так как они недоувлетворяют условию исходной функции, если их подставить в ln(6+x-x^2) то это не будет входитьв область определения больше нуля