Question

Имеет ли вещественное решение:
$frac{y}{x} + frac{x}{y} + frac{x^2}{y^2} + frac{y^2}{x^2}+ frac{x^3}{y^3}+ frac{y^3}{x^3}=0$

Answer 1

$dfrac{x}{y} + dfrac{y}{x} + dfrac{x^2}{y^2} + dfrac{y^2}{x^2} + dfrac{x^3}{y^3} + dfrac{y^3}{x^3} = dfrac{x^4y^2+x^2y^4+yx^5+xy^5+x^6+y^6}{x^3y^3} = \ \ =dfrac{x^4(x^2+xy+y^2)+y^4(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}=dfrac{(x^4+y^4)(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}$



$dfrac{(x^4+y^4)(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}=0 Rightarrow begin{cases} & (x^4+y^4)(x^2+xy+y^2)=0 \ & x^3y^3neq 0 end{cases}$$Rightarrow begin{cases} & (x^4+y^4)(x^2+xy+y^2)=0 \ & xneq 0 \ & yneq 0 end{cases}$$Rightarrow begin{cases} & left[begin{array}{l} x^4+y^4=0 \ x^2+xy+y^2=0 end{array}right. \ & xneq0 \ & yneq 0 end{cases}$

$Rightarrow begin{cases} & left[begin{array}{l} x^4+y^4=0 \ x^2+2cdot x cdot frac{y}{2}+frac{y^2}{4}+frac{3y^2}{4}=0 end{array}right. \ & xneq0 \ & yneq 0 end{cases}$$Rightarrow begin{cases} & left[begin{array}{l} x^4+y^4=0 \ left(x+frac{y}{2} right)^2+frac{3y^2}{4}=0 end{array}right. \ & xneq0 \ & yneq 0 end{cases}$
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое из слагаемых. Значит, для первого уравнения: ($x^4=0$ и $y^4=0$)$Rightarrow$($x=0$ и $y=0$). Но $x=0$ и $y=0$ корнями быть не могут по условию системы (ненулевой знаменатель). Для второго уравнения: ($left(x+frac{y}{2} right)^2=0$ и $frac{3y^2}{4}=0$). Корень последнего уравнения равен $y=0$, что опять же не может быть по условию системы. А это означает, что у уравнения $left(x+frac{y}{2} right)^2+frac{3y^2}{4}=0$ из нашей системы корней нет.
Получается, у совокупности
$left[begin{array}{l} x^4+y^4=0 \ left(x+frac{y}{2} right)^2+frac{3y^2}{4}=0 end{array}right.$
действительных решений нет. Соответственно, и у исходного уравнения нет действительных решений (только комплексные).