Question

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии b1=3 и q=1/3.Найти сумму этой прогрессии

Answer 1

Искомая сумма $S$ равна:
$S = b_1 + b_2 + b_3 + dots = b_1 + q b_1 + q^2 b_1 + dots = b_1 left(1+q + q^2 + dots right)$. Поэтому решение задачи свелось к нахождению суммы $s = 1 + q + q^2 + dots$, формулой для которой можно воспользоваться в готовом виде, но полезнее уметь её выводить каждый раз, когда она оказывается нужна. Итак, выводим формулу для $s$.
Рассмотрим для начала сумму первых членов $s_n = 1 + q + q^2 + dots + q^n$. Имеем:
$(1-q)s_n = (1-q)(1 + q + q^2 + dots + q^n) = 1 + q + q^2 + dots + q^n - q - q^2 - dots - q^n - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}$. Таким образом, $s_n = frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, откуда, переходя к пределу при $n rightarrow infty$, получаем $s = lim_{n rightarrow infty} s_n = frac{1}{1 - q}$. Предел существует при $left|qright|<1$.

Итак, искомая сумма равна:
$S = b_1 (1 + q + q^2 + dots) = b_1 s = frac{b_1}{1-q} = frac{3}{1 - frac{1}{3}} = frac{9}{2} = 4,5$