Question

Помогите, пожалуйста! Заранее спасибо.
В правильной шестиугольной призме A...F' все ребра которой равны 1, точка G - середина ребра A'B'. Найдите косинус угла между прямыми AG и BD'.

Answer 1

Поместим правильную шестиугольную призму A...F' в прямоугольную систему координат вершиной А по оси ОХ, ребром ВС по оси ОУ.
Определим координаты точек заданных прямых.
$A( frac{ sqrt{3} }{2};0;0),$
$G( frac{ sqrt{3} }{4}; frac{1}{4};1),$
$B(0; frac{1}{2};0),$
$D_1( frac{ sqrt{3} }{2};2;1).$
Находим координаты векторов:
$AG(- frac{ sqrt{3} }{4}; frac{{1} }{4} ;1).$
$BD_1( frac{ sqrt{3} }{2}; frac{3}{2};1).$
Теперь косинус угла между найденными векторами равен:
$cos alpha = frac{- frac{3}{8}+ frac{3}{8}+1 }{ sqrt{ frac{3}{16}+ frac{1}{16}+1 }* sqrt{ frac{3}{4}+ frac{9}{4}+1 } } = frac{1}{ sqrt{5} } = frac{ sqrt{5} }{5} .$