Question

Решите уравнение. Пожалуйста помогите.

Answer 1

$||2x-1|-5|+x=|6-x|$

Найдем нули подмодульных выражений:

$|2x-1|-5=0 \ |2x-1|=5 Rightarrow left[begin{array}{l} 2x-1=5 \ 2x-1=-5 end{array} Rightarrow left[begin{array}{l} 2x=6 \ 2x=-4 end{array} Rightarrow left[begin{array}{l} x=3 \ x=-2 end{array}$
При $xin(-infty;-2]cup[3;+infty)$ модуль раскрывается со знаком плюс, при $xin(-2;3)$ - со знаком минус.

$6-x=0 \ x=6$
При $xin(-infty;6]$ модуль раскрывается со знаком плюс, при $xin(6;+infty)$ - со знаком минус.

Тогда:
при $xin(-infty;-2]cup[3;6]$ - оба модуля раскрываем со знаком плюс
при $xin(-2;3)$ - первый модуль - со знаком минус, второй - со знаком плюс
при $xin(6;+infty)$ - первый модуль - со знаком плюс, второй - со знаком минус

Получаем совокупность:
$left[begin{array}{l} |2x-1|-5+x=6-x, xin(-infty;2]cup[3;6] \ -(|2x-1|-5)+x=6-x, xin(-2;3) \ |2x-1|-5+x=-(6-x), xin(6;+infty)end{array}$
$left[begin{array}{l} |2x-1|-5+x=6-x, xin(-infty;2]cup[3;6] \ -|2x-1|+5+x=6-x, xin(-2;3) \ |2x-1|-5+x=-6+x, xin(6;+infty)end{array}$
$left[begin{array}{l} |2x-1|=11-2x, xin(-infty;2]cup[3;6] \ |2x-1|=2x-1, xin(-2;3) \ |2x-1|=-1, xin(6;+infty)end{array}$

Рассмотри каждую строку:
Уравнение в третьей строке не имеет решений, так как модуль любого числа неотрицателен

Уравнение во второй строке справедливо для всех x, при которых подмодульное выражение неотрицательно, то есть при  $x geq frac{1}{2}$. Учитывая условие, при котором был раскрыт модуль, получим, что полуинтервал $[ frac{1}{2} ;3)$ - решение уравнения во второй строке

Решим уравнение в первой строке:
$|2x-1|=11-2x$
$left{begin{array}{l} left[begin{array}{l} 2x-1=11-2x\ 2x-1=-(11-2x) end{array} \ 11-2x geq 0 end{array}$
$left{begin{array}{l} left[begin{array}{l} 4x=12\ 2x-1=2x-11 end{array} \ 2x leq 11 end{array}$
Второе уравнение решений не имеет:
$left{begin{array}{l} x=3 \ x leq 5.5 end{array}$
x=3 - единственный корень уравнения в первой строке

Тогда, исходное уравнение имеет решения $xin[ frac{1}{2} ;3)$ и $x=3$ или, объединяя, получим $xin[ frac{1}{2} ;3]$

Ответ: $[ frac{1}{2} ;3]$