Question

Могут ли длины высот треугольника относиться друг к другу как 1:2:3? Ответ обоснуйте!

Answer 1

Пусть длины высот относятся друг к другу как 1:2:3, тогда 
$h_1=x; h_2=2x; h_3=3x$, где х - некоторое положительное действительное число

$a=frac{2S}{h}$

тогда стороны этого треугольника
$a_1=frac{2S}{x}; a_2=frac{2S}{2x}=frac{S}{x};$
$a_3=frac{2S}{3x}=frac{frac{2}{3}S}{x}$

так как $a_2+a_3=frac{S}{x}+frac{frac{2}{3}S}{x}=frac{frac{5}{3}S}{x}$
$<frac{2S}{x}=a_1$
то в таком случае не выполняется неравенство треугольника (для его сторон)
а значит треугольник с таким условием существовать не может
ответ: нет