Question

Навколо поляни стоять 12 будинків, пофарбовані в білий та червоний кольори. У них поселилися 12 гномів. Кожен гном має непарну кількість друзів. У січні перший гном фарбує свій будинок у той колір, у який пофарбовано будинки більшості його друзів. У лютому це робить другий гном, у березні- третій і т.д. Чи можливо, що через деякий час колір будинку кожного гноиа буде залишатися тим самим? Відповідь обгрунтуйте.

Answer 1

Розглянемо число пар гномів-друзів, у яких будинки різного кольору. Кожний місяць їх кількість збільшується. Дійсно, якщо наступний гном фарбує будинок в той самий колір, який був раніше, то це число зберігається. Якщо ж він фарбує будинок в інший колір, то воно зменшується. Оскільки це ціле число – невід’ємне то при зменшуванні наступить момент після якого воно не буде змінюватись. З даного моменту кожний гном завжди буде фарбувати будинок в один і той же колір.