Question

Найдите пожалуйста неопределенный интеграл

Answer 1

Для начала делаем замену:
$t= sqrt{6x-1} \ dt= frac{3dx}{ sqrt{6x-1} } = frac{3dx}{t} \ dx= frac{tdt}{3}$
Получаем такой интеграл: $intlimits arctgt frac{tdt}{3}$
Берем его по частям:
$u=arctgt \ du= frac{dt}{t^2+1} \ dv= frac{tdt}{3} \ v = frac{t^2}{6} \ intlimits udv=uv-intlimits vdu \ intlimits arctgt frac{tdt}{3} = frac{t^2arctgt}{6} - frac{1}{6} intlimits frac{t^2}{t^2+1}dt = frac{1}{6} (t^2arctgt-intlimits frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt )= \ = frac{1}{6} (t^2arctgt-intlimits (1-frac{1}{t^2+1})dt )=frac{1}{6} (t^2arctgt+arctgt -t)+C= \ =frac{t^2+1}{6} arctgt - frac{t}{6} +C$
Теперь обратная замена и ответ:
$t= sqrt{6x-1} \ t^2=6x-1 \ intlimits arctg sqrt{6x-1} dx=xarctg sqrt{6x-1} - frac{sqrt{6x-1}}{6} +C$