Question

Пожалуйста решите Уравнение.

Answer 1

а) $frac{(a^5)^{12}~*~(a^8)^7}{(a^{16})^8~:~(a^2)^{10}}=256$
Сначала упростим выражение в левой части уравнения (можно записать его отдельно и упрощать, но я этот пример буду писать полностью, каждый раз переписывая всё уравнение).
При возведении степени в степень- показатели перемножаются:
$frac{a^{(5*12)}~*~a^{(8*7)}}{a^{(16*8)}~:~a^{(2*10)}}=2^8$
$frac{a^{60}~*~a^{56}}{a^{128}~:~a^{20}}=2^8$
При перемножении степеней с одинаковыми основаниями- показатели складываются (а при делении- вычитаются):
$frac{a^{(60+56)}}{a^{(128-20)}}=2^8$
$frac{a^{116}}{a^{108}}=2^8$
Применяем то же самое правило, что и выше:
$a^{(116-108)}=2^8$
$a^8=2^8$
$a_1=2~;~~a_2=-2$
Показатель степени (восемь)- чётное число, поэтому появился второй корень (минус два), ведь отрицательное число при возведении в чётную степень даёт положительное число.
При проверке в исходном уравнении, этот корень туда подходит (так как все множители/делители в исходной дроби содержат чётные показатели степени, значит в результате всегда получится положительное число).

б) $frac{(x^{17})^{20}~:~(x^{42})^5~*~x}{(x^{35})^4~:~(x^2)^5}=1968$
Теперь будем решать по тем же правилам, но преобразовывая отдельно левую часть уравнения (как у вас принято записывать, тот вариант и выбирай).
$frac{(x^{17})^{20}~:~(x^{42})^5~*~x}{(x^{35})^4~:~(x^2)^5}=frac{x^{(17*20)}~:~x^{(42*5)}~*~x^1}{x^{(35*4)}~:~x^{(2*5)}}=frac{x^{340}~:~x^{210}~*~x^1}{x^{140}~:~x^{10}}=\=frac{x^{(340-210+1)}}{x^{(140-10)}}=frac{x^{131}}{x^{130}}=x^{(131-130)}=x^1=x$
Теперь запишем наше исходное уравнение, но с уже упрощённой левой частью:
$x=1968$  (мы сразу получили ответ, то есть нашли корень уравнения)

в) $frac{(y^{51})^3~:~(y^{16})^3}{(y^2)^{61}~:~(y^4)^{19}~*~(y^{29})^2}=1993$
Будем решать по тем же правилам (упрощая отдельно левую часть), но не расписывать так подробно, будем упрощать ещё быстрее:
$frac{(y^{51})^3~:~(y^{16})^3}{(y^2)^{61}~:~(y^4)^{19}~*~(y^{29})^2}=frac{y^{(51*3-16*3)}}{y^{(2*61-4*19+29*2)}}=frac{y^{(153-48)}}{y^{(122-76+58)}}=frac{y^{105}}{y^{104}}=\=y^{(105-104)}=y^1=y$
Теперь запишем наше исходное уравнение, но с уже упрощённой левой частью:
$y=1993$  (мы опять сразу же получили ответ)

г) $frac{(m^9)^{22}~*~(m^{32})^3}{(m^{45})^3~*~(m^3)^{53}~:~m}=1995$
Будем упрощать левую часть по тем же правилам, но ещё быстрее, чем в последнем примере (сразу будем считать все показатели степени):
$frac{(m^9)^{22}~*~(m^{32})^3}{(m^{45})^3~*~(m^3)^{53}~:~m}=m^{(9*22+32*3,-(45*3+3*53-1),)}=\=m^{(198+96-135-159+1)}=m^1=m$
Теперь запишем наше исходное уравнение, но с уже упрощённой левой частью:
$m=1995$