Question

Бiсектриса трикутника дiлить його сторону на два вiдрiзки, один з яких на 3 см бiльший. Двi iншi сторони дорiвнюють 21 и 14 см.Знайдіть площу трикутника.

Answer 1

Δ $ABC-$ произвольный
$AB=21$ см
$BC=14$ см
$AH=HC+3$

Пусть $HC=x$ см, тогда $AH=x+3$ см

Воспользуемся свойством биссектрисы:
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части пропорциональные сторонам:
$frac{AH}{HC} = frac{AB}{BC}$
$frac{x+3}{x} = frac{21}{14}$
$frac{x+3}{x} = frac{3}{2}$
$2(x+3)=3x$
$3x-2x=6$
$x=6$
$HC=6$ см
$AH=6+3=9$ см
$AC=AH+HC=9+6=15$ см

Найдём площадь треугольника с помощью формулы Герона: 
$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }$, $p= frac{a+b+c}{2}$

$p= frac{AB+BC+AC}{2} = frac{21+14+15}{2} =25$

$S_{ABC} = sqrt{25*(25-21)(25-14)(25-15)}= sqrt{25*4*11*10}=$$10 sqrt{110}$ см²

Ответ:  $10 sqrt{110}$ см²