Question

Найдите значения выражения cos2α - sin2α , если tgα=2.

Answer 1

Если я правильно понял задание, то даны косинус и синус двойного угла. Если да. То начнем по порядку:
1- Нам дан тангенс - это отношение синуса к косинусу. Запишем:
$tga=2;\ frac{sina}{cosa}=2;\ Sina=2*Cosa;$

Теперь распишем само выражение, применяя формулы синуса и косинуса двойного угла:
$Sin2a=2sina*cosa;\ cos2a=cos^2(a)-sin^2(a);\ Cos2a-sin2a=cos^2(a)-sin^2(a)-2sina*cosa;$

Воспользуемся нашим отношением (Sina=2cosa).

Подставим значение косинуса в наше выражение:
$Cos2a-sin2a=cos^2(a)-sin^2(a)-2sina*cosa=\ Cos^2(a)-(2cosa)^2-2*2*cosa*cosa=cos^2(a)-4cos^2(a)-\-4cos^2(a)=cos^2(a)-8cos^2(a)=-7cos^2(a);$

2-Также мы знаем формулу:

$1+tg^2(a)=frac{1}{cos^2(a)};$

Откуда получим cos^2(a):

$1+4=frac{1}{cos^2(a)};\ 5*cos^2(a)=1;\ cos^2(a)=frac{1}{5};$

Подставим в наше выражение:

$-7cos^2(a)=-7*frac{1}{5}=-frac{7}{5};$

Вот и получили ответ.

Если же в дано идет Cos^2(a)-sin^2(a) - то получим:

$Cos^2(a)-sin^2(a)=cos^2(a)-(1-cos^2(a))=cos^2(a)-1+cos^2(a)\=2cos^2(a)-1;$
Воспользуемся полученным ранее, что Cos^2(a)=1/5;

$cos^2(a)-1+cos^2(a)=2cos^2(a)-1=2*frac{1}{5}-1=frac{2}{5}-frac{5}{5}=-frac{3}{5};$

Так же получили ответ.