Question

В прямоугольнике ABCD заданы стороны AD=a, CD=b, 0-точка пересечения диагоналей. Найдите величину |АВ+АD-DC-OD|

Answer 1

$overrightarrow{AD}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BD}=overrightarrow{AB}+2overrightarrow{OD}~~Rightarrow~~overrightarrow{OD}=dfrac{overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB}}{2}$

$left|overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}-overrightarrow{DC}-overrightarrow{OD}right|=left|-overrightarrow{BA}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{OD}right|=\ \ \ =left|-overrightarrow{CD}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{CD}-dfrac{overrightarrow{AD}}{2}+dfrac{overrightarrow{AB}}{2}right|=left|dfrac{overrightarrow{AD}}{2}-dfrac{overrightarrow{CD}}{2}right|=dfrac{1}{2}left|overrightarrow{a}-overrightarrow{b}right|$

Поскольку векторы $overrightarrow{a},~overrightarrow{b}$ - перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

$dfrac{1}{2}left|overrightarrow{a}-overrightarrow{b}right|=dfrac{1}{2}sqrt{(overrightarrow{a}-overrightarrow{b})^2}=dfrac{1}{2}sqrt{overrightarrow{a}^2-2overrightarrow{a}overrightarrow{b}+overrightarrow{b}^2}=dfrac{1}{2}sqrt{overrightarrow{a}^2+overrightarrow{b}^2}$