Question

1. Составить уравнение высоты CH треугольника A (1,2,0), B (1,4,5), C (3,0,1).
2.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую $left { {{x=3t+1} atop {y=2t+3} } atop {z=-t-2}} right.$, параллельно прямой $left { {{2x-y+z-3=0} atop {x+2y-z-5=0}} right.$ .

Answer 1

для первой прямой имеем направляющий вектор (2, 1, -3)
для второй - (4, 7, 2)
найдем вектор (x, y, 1) перпендикулярный обоим этим векторам.
Очевидно, что скалярное произведение искомого вектора и двух данных должно быть равно 0, т.е.
2x+y = 3
4x+7y = -2
решаем систему и получаем
x=2.3
y=-1,6
таким образом вектор (23, -16, 10) - нормаль к искомой плоскости и ее уравнение выглядит так:
23x - 16y +10z + C = 0
поскольку в условии дано, что плоскость содержит первую прямую, то все точки этой прямой лежат в плоскости, в том числе и образующая точка (3, -4, 2)
подставим ее в уравнение плоскости, получим
23*3 + 16*4 + 10*2 = -С
С = -46 - 64 - 20 = -130

Ответ: 23x - 16y +10z -130 = 0