Question

Угол между пл.П1 И П2 ,пересекающихся по прямой l, равен А(альфа  то бишь).В пл.П1 лежит прямая p ,образующая с прямой l угол В(то бишь бетта).Найти угол между прямой p и пл.П2

Answer 1

угол между прямой p и пл.П2  - это угол между прямой p  и её проекцией на пл.П2 (< γ)

 

сделаем построение по условию

пусть прямая (р) пересекает прямую (I)  в т. К

На прямой (р ) выберем точку М и построим её проекцию на пл.П2

MM2 ┴ I

M1M2 ┴ I

MM1 ┴ (П2)

т.M1  - проекция точки М на плоскость П2

по теореме о трех перпендикулярах ∆MM1М2 - прямоугольный ;

<MM1М2 =90  ;

<MM2M1 =α

<MKM2 =β

 

обозначим отрезок МК= b

∆MM2K - прямоугольный из построения ;

MM2 =b*sinβ

KM2 =b*cosβ

∆MM1М2 - прямоугольный

MM1 =MM2*sinα  =b*sinα*sinβ

M2M1 =MM2*cosα  =b*cosα*sinβ

∆M1M2K - прямоугольный из построения ;

по теореме Пифагора

M1K^2 =M2M1^2 +KM2^2 = (b*cosα*sinβ)^2 + (b*sinβ)^2 =(b*sinβ)^2 * ((cos α)^2 +1)

M1K =(b*sinβ)*√((cos α)^2 +1)

по теореме косинусов

MM1^2 =MK^2 + M1K^2 - 2*MK*M1K*cos< γ

(b*sinα*sinβ)^2 = b^2 +(b*sinβ)^2 * ((cosα)^2 +1) - 2*b*(b*sinβ)*√((cosα)^2 +1)*cos<γ

(sinα*sinβ)^2 = 1+(sinβ)^2 * ((cosα)^2 +1) - 2*sinβ*√( (cosα)^2 +1)*cos< γ

cos< γ =  (sinα*sinβ)^2 / [1+(sinβ)^2 * ((cosα)^2 +1) - 2*sinβ*√( (cosα)^2 +1) ]

<γ = arccos  (sinα*sinβ)^2 / [1+(sinβ)^2 * ((cosα)^2 +1) - 2*sinβ*√( (cosα)^2 +1) ]

 

или можно вынести (sinβ)^2 в числителе и знаменателе

<γ = arccos  (sinα)^2 / [ (sinβ)^-2+((cosα)^2 +1) - 2*sinβ^-1 *√( (cosα)^2 +1) ]

или можно вынести (sinβ) в числителе и знаменателе

***

возможны другие формы записи конечного ответа