Question

Даны вершины треугольника АВС
1) Найдите уравнение стороны ВС ее нормальный вектор и угловой коэфициент
2) Найдите точки пересечения медианы опущенной из вершины А и высоты опущенной из вершины В
3) Уравнение прямой проходящей через точку А параллельной стороне ВС
А=1;2 В=7;-6 С=-1;-12

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника А(1;2), В(7;-6), С(-1;-12).

1) Найти уравнение стороны ВС, её нормальный вектор и угловой коэффициент.
$BC: frac{x-7}{-8}= frac{y+6}{-6}$,
это уравнение в каноническом виде.
Знаменатели в этом уравнении - это координаты направляющего вектора: направляющий вектор $p(p_1, p_2)$.
Чтобы найти угловой коэффициент, надо уравнение из канонического вида преобразовать в уравнение с коэффициентом:
-6х + 42 = -8у - 48,
6х - 8у - 90 = 0 или, сократив на 2:
3х - 4у - 45 = 0 это общий вид уравнения.
Теперь выразим относительно у:
у = (3/4)х - (45/4) это уравнение с коэффициентом .
Угловой коэффициент уравнения стороны равен ВС 3/4.
Его можно определить по координатам точек:
Квс = (Ус-Ув) / (Хс-Хв).
Если прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0$  в прямоугольной системе координат, то вектор $n(A;B)$  является вектором нормали данной прямой.
Нормальный вектор (3;-4).

2) Найти точку пересечения медианы, опущенной из вершины А, и высоты, опущенной из вершины В.
Для этого надо найти уравнения этих прямых и решить полученную систему.
Находим координаты точки М (основание медианы АМ) как середину стороны ВС: М((7-1)/2=3; (-6-12)/2=-9.
Отсюда находим уравнение медианы АМ:
$AM: frac{x-1}{2}= frac{y-2}{-11}.$
Находим уравнение высоты из точки В(7;-6) как перпендикуляра (нормали) к стороне АС.

Уравнение $AC: frac{x-1}{-2}= frac{y-2}{-14} .$

Или в общем виде $AC: 7x-y-5=0.$

Нормальный вектор стороны АС $n(7;-1).$, а для высоты ВН он будет направляющим:

Уравнение высоты $BH: frac{x-7}{7} = frac{y+6}{-1} .$

Или в общем виде: -х + 7 = 7у + 42,

                               х + 7у + 35 = 0.

3) Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС имеет вид 3х - 4у - С = 0, так как уравнение ВС:  3х - 4у - 45 = 0.
Подставим координаты точки А: 3*1 - 4*2 - С = 0, отсюда С = 3-8 = -5.
Тогда искомое уравнение 3х - 4у + 5 = 0.