Question

Решите пожалуйста 1 и 2

Answer 1

Вычислить сумму 0,(1)+1,(2)=2,(3)+....+98,(99)

Решение:
Запишем данную сумму в виде обычных дробей
$0,(1)+1,(2)+2,(3)+....+98,(99)= frac{1}{9}+1 frac{2}{9}+2 frac{3}{9}+...+98 frac{99}{99}$
Целые части дробей представляют собой арифметическую прогрессию с $a_1=1, d=1, a_{98}=98, n=98$
Сумма арифметической прогрессии вычислим по формуле
$S= frac{(a_1+a_n)*n}{2}= frac{(1+98)*98}{2}= 4851$
Остальную часть простых дробей представим в виде суммы двух дробей с знаменателями равными 9 и 99.
$frac{1}{9}+1 frac{2}{9}+2 frac{3}{9}+...+98 frac{99}{99} = frac{1+2+...9}{9}+ frac{10+...99}{99}$
Числитель первой и второй дроби представляет собой сумму арифметической прогрессии.
Для первой дроби с знаменателем равным 9 арифметическая прогрессия: $a_1=1, d=1, a_{9}=9, n=9$
Сумма арифметической прогрессии равна 
$S= frac{(a_1+a_n)*n}{2}= frac{(1+9)*9}{2}= 45$
Для второй дроби с знаменателем равным 99 арифметическая прогрессия: $a_1=10, d=1, a_{90}=99, n=90$
Сумма арифметической прогрессии равна 
$S= frac{(a_1+a_n)*n}{2}= frac{(10+99)*90}{2}= 4905$
Подставляем полученные результаты
$frac{1+2+...9}{9}+ frac{10+...99}{99} = frac{45}{9}+ frac{4905}{99}=5+49 frac{54}{99}=54,(54)$
Добавим сумму целой части 
0,(1)+1,(2)+2,(3)+....+98,(99) =4851+54,(54)=4905,(54)