Question

Найдите отношение объема конуса, описанного вокруг правильной треугольной пирамиды, к объему конуса, вписанного в эту пирамиду.

Answer 1

Пусть объем описанного конуса обозначени через V1, а объем вписанного через V2.

Эти конусы отличаются только радиусами оснований - окружностей описанной и вписанной в правильный треугольник - основание правильной пирамиды.

$V_1=frac{1}{3}pi R^2h, V_2=frac{1}{3}pi r^2h,$ где R и r - радиусы таких окружностей (оснований конусов)

Для правильного треугольника имеем $R=frac{asqrt3}{3}, r=frac{asqrt3}{6}$

Отсюда R=2r

Для описанного конуса его объем равен $V_1=frac{1}{3}pi R^2h=frac{1}{3}pi (2r)^2h=4*(frac{1}{3}pi r^2h)=4V_2$

 

 Итак объем описанного конуса больше объема вписанного конуса в 4 раза.

Ответ : отношение равно 4:1.