Question

Диагональ четырёхугольника образует с противоположными сторонами равные углы.Докажите что противтположные углы четырёхугольника попарно равны.

Answer 1

Пусть ABCD – данный четырехугольник и АВ=СД,ВС=АД

Докажем что это параллелограмм

Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB  =  CD , BC  =  AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда угол BCA  =  углу CAD и угол BAC  =  углу ACD . Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC , а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD , а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD . Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм

Answer 2

Образуются накрест лежащие углы, из чего следует, что они равны.