Question

Помогите с решением интегралов

Answer 1

$1)quad int frac{y-1}{y}dy=int (1-frac{1}{y})dy=int , dy-int frac{dy}{y}=y-ln|y|+C\\2)quad int frac{dx}{16+25x^2} =int frac{dx}{4^2+(5x)^2}=[t=5x,; dt=5, dx,; dx=frac{dt}{5}]=\\=frac{1}{5}int frac{dt}{4^2+t^2}=frac{1}{5}cdot arctgfrac{t}{4}+C=frac{1}{5}cdot arctgfrac{5x}{4}+C$

$3)quad int (x^2-6x)cdot e^{-x}dx=[u=x^2-6x,; du=(2x-6)dx,\\dv=e^{-x}dx; ,; v=int e^{-x}dx=-e^{-x}, ]=\\=-(x^2-6x)e^{-x}+int (2x-6)e^{-x}dx=\\=[u=2x-6,; du=2, dx,; dv=e^{-x}dx; ,; v=-e^{-x}, ]=\\=-(x^2-6x)e^{-x}+(2x-6)e^{-x}+2cdot int e^{-x}dx=\\=-(x^2-6x)e^{-x}+(2x-6)e^{-x}-2e^{-x}+C=\\=-e^{-x}cdot (x^2-6x+2x-8)+C$

$4)quad int frac{2x-3}{4+3x-x^2}dx =-int frac{2x-3}{(x-frac{3}{2})^2-frac{25}{4}}dx=\\=[t=x-frac{3}{2},; dx=dt, ,, x=t+frac{3}{2}]=\\=-int frac{2(t+frac{3}{2})-3}{t^2-frac{25}{4}}dt=-int frac{2t, dt}{t^2-frac{25}{4}} =[u=t^2-frac{25}{4},; du=2t, dt, ]=\\=-int frac{du}{u}=-ln|u|+C=-ln|(x-frac{3}{2})^2-frac{25}{4}|+C=\\=-ln|x^2-3x-4|+C$