Question

Один из углов треугольника равен 60. Найдите расстояние между проекциями середины противоположной стороны треугольника на две другие его стороны, если высоты треугольника, опущенные на эти стороны равны 2 и 4.

Answer 1

Пусть О₁ и О₂- проекции точки О на стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно.

ОО₁ и ОО₂ перпендикулярны к АВ и АС соответственно и параллельны высотам СН₁ и ВН₂ к сторонам  АВ и АС соответственно.

Поскольку ОВ=ОС, то ОО₁ и ОО₂ средние линии треугольников СН₁В и ВН₂С соответственно и равны:

$OO_1=frac{CH_1}{2}=frac{4}{2}=2$

 

$OO_2=frac{BH_2}{2}=frac{2}{2}=1$

Рассмотрим четырёхуголник АО₁ОО₂:

Углы О₁ и О₂ - прямые, угол А=60⁰, значит угол О=360-(90+90+60)=120⁰

По теореме косинусов находим О₁О₂:

$O_1O_2=sqrt{OO_1^2+OO_2^2-2cdot OO_1cdot OO_2cdot cos120^0}=\\sqrt{2^2+1^2-2cdot2cdot1cdot(-frac{1}{2})}=sqrt{5+2}=sqrt7$

Ну и, как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!... ;)))