Question

Сократила ли дробь (7^53-2^37)/5

Answer 1

Дробь сократима, если её числитель и  знаменатель имеют хотя бы один общий делитель, отличный от единицы.

$dfrac{7^{53}-2^{37}}{5}$ будет сократимой, если $7^{53}-2^{37}$ делится на $5$. А для того чтобы число делилось на $5$, нужно чтобы это число заканчивалось на $0$ или на $5$.


Выписывая первые степени семёрки 
$7^7=7 \ 7^2=dots 9 \ 7^3= dots 3 \ 7^4=dots 1 \ 7^5=dots 7 \ 7^6=dots 9 \ 7^7=dots 3 \ 7^8=dots 1 \ 7^9=dots 7$ 
, получаем закономерность:
$7^{2n}=dots1 \ 7^{2n+1}=dots7 \ 7^{2m}=dots9 \ 7^{2m+1}dots3$
, где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

То же делаем и для степеней двойки:
$2^1=1 \ 2^2=4 \ 2^3=8 \ 2^4=dots6 \ 2^5=dots2 \ 2^6=dots4 \ 2^7=dots8 \ 2^8=dots6 \ 2^9=dots2$

$2^{2n}=dots6 \ 2^{2n+1}=dots2 \ 2^{2m}=dots4 \ 2^{2m+1}=dots8$
 , где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.




Т.к. $53=2cdot26+1$ , то $7^{53}= dots7$.
Т.к. $37=2cdot18+1$ , то $2^{37}= dots2$.

Значит $7^{53}-2^{37}=dots7-dots2=dots5$. Отсюда следует, что $7^{53}-2^{37}$ делится на $5$, и ,соответственно, дробь $dfrac{7^{53}-2^{37}}{5}$ — сократима.