Question

СРОЧНО!!!
РЕШИТ ПОЖАЛУЙСТА ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЛОГАРИМФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. !!!!
С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ И ОБОСНОВАНИЕМ.
#13, #15.

ДАЮ 14 БАЛЛОВ.

Answer 1

$1)quad lg^2(tg^2x)+lg(cosx)=lg(sinx); ,quad xin [frac{pi}{3},2pi]\\star ; ; lg^2(tg^2x)=(lg(tg^2x))^2=left (lgfrac{sin^2x}{cos^2x}right )^2=\\=left (lg(sinx)^2-lg(cosx)^2)right )^2=(2lg(sinx)-2lg(cosx))^2=\\=4(lg(sinx)-lg(cosx))^2; star \\Oboznachim:; ; a=lg(sinx); ,; ; b=lg(cosx)\\4(a-b)^2+b=a\\4(a-b)^2+b-a=0\\4(a-b)^2-(a-b)=0\\(a-b)(4(a-b)-1)=0\\(a-b)(4a-4b-1)=0\\a-b=0; ; ; ili; ; ; 4a-4b-1=0\\a); ; lg(sinx)-lg(cosx)=0$

$lg(sinx)=lg(cosx); ; ; to ; ; ; sinx=cosx; |:cosxne 0\\tgx=1; ; to ; ; underline {x=frac{pi}{4}+pi n,; nin Z}\\b); ; 4lg(sinx)-4lg(cosx)-1=0\\4cdot lgleft (frac{sinx}{cosx}right )=1; ; to ; ; lgleft (frac{sinx}{cosx}right )^4=lg10; ; to ; ; lg(tgx)^4=lg10\\tg^4x=10; ; to ; ; tgx=pm sqrt[4]{10}; ; to ; ; underline {x=pm arctgsqrt[4]{10}+pi k,; kin Z}\\c); ; xin [frac{pi}{3};2pi ]; ; to ; ; x=frac{pi}{4}+pi =frac{5pi}{4}; ;$

$x=arctgsqrt[4]{10}+pi ,; t.k.; ; arctgfrac{pi}{3}=sqrt3approx 1,732,; a; sqrt[4]{10}approx 1,778\\x=-arctgsqrt[4]{10}\\Otvet:; ; frac{5pi}{4}; ,; ; arctgsqrt[4]{10}+pi ; ,; x=-arctgsqrt[4]{10}.$

$2)quad frac{64^{x}-7cdot 16^{x}}{4^{x}+1} + frac{6cdot 16^{x}-3cdot 4^{x+2}+42}{4^{x}-6} geq 0\\frac{4^{3x}-7cdot 4^{2x}}{4^{x}+1} + frac{6cdot 4^{2x}-3cdot 4^2cdot 4^{x}+42}{4^{x}-6} geq 0\\t=4^{x} textgreater 0; :quad frac{t^3-7t^2 }{t+1} + frac{6t^2-48t+42}{t-6}geq 0\\6t^2-48t+42=6cdot underbrace {(t^2-8t+7)}_{t_1=1,t_2=7}=6cdot (t-1)(t-7)\\ frac{t^2(t-7)}{t+1} + frac{6(t-1)(t-7)}{t-6} geq 0; ,; ; frac{t^2(t-7)(t-6)+6(t-1)(t-7)(t+1)}{(t+1)(t-6)} geq 0$

$frac{(t-7)(t^2(t-6)+6(t-1)(t+1))}{(t+1)(t-6)}geq 0\\frac{(t-7)(t^3-6t^2+6t^2-6)}{(t+1)(t-6)}geq 0; ;; ; frac{(t-7)(t^3-6)}{(t+1)(t-6)} geq 0$

$frac{(t-7)(t-sqrt[3]6)(t^2+sqrt[3]6cdot t+sqrt[3]{36})}{(t+1)(t-6)} geq 0$

 $t^2+sqrt[3]6t+sqrt[3]{36} textgreater 0; ,; t.k.$

$D=sqrt[3]{36}-4cdot sqrt[3]{36}=-3sqrt[3]{36}<0;[tex] [tex] sqrt[3]{6}approx 1,817$

$+++(-1)---[sqrt[3]6, ]+++(6)---[, 7, ]+++$

$tin (-infty ,-1)cup [sqrt[3]6,, 6)cup [, 7,+infty )$

$t=4^{x} textgreater 0; ; to ; ; sqrt[3]6 textless 4^{x} textless 6; ,; 4^{x} textgreater 7\\4^{log_4sqrt[3]6} textless 4^{x} textless 4^{log_46}; ,; ; 4^{x} textgreater 4^{log_47}\\log_4sqrt[3]6 textless x textless 6; ,; ; x textgreater log_47\\xin (log_4sqrt[3]6; ;; 6)cup (log_47; ;+infty )$