Question

   Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60о. Плоскость  AD1C1 составляет с плоскостью основания угол 60о. Найдите:                       а) высоту ромба;

б) высоту параллелепипеда;

в)  площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г) площадь  поверхности параллелепипеда.

Answer 1

Линия пересечения плоскости  AD₁C₁ и плоскости основания есть ребро параллелепипеда АВ.

Угол между плоскостью AD₁C₁ и плоскостью основания есть угол между плоскостью  AD₁C₁ перпендикуляром к АВ, то есть высотой ромба. На рисунке обозначена как ВН.

ΔСВН - прямоугольный, с прямым углом Н, по условию острый угол ромба-основания равен 60⁰, отсюда, зная sin60⁰ находим высоту ромба ВН:

 

а) $sin60^0=frac{sqrt3}{2}\\sin60^0=frac{BH}{BC}\\BH=BCsin60^0=frac{asqrt3}{2}$

Можно было вычислить и так, как мы находили АН во вчерашнем задании, через т. Пифагора, зная, что СН=а/2, как катет, лежащий против угла в 30⁰, но сегодня решаем так, чтобы показать разные пути решения.

 

 б) Высоту параллелепипеда HH₁находим из прямоугольного ΔВН₁Н в котором угол Н прямой, угол В=60⁰, и зная значение tg60⁰:

 

$tg60^0=sqrt3\\tg60^0=frac{HH_1}{BH}\\HH_1=sqrt{3}cdot BH=sqrt{3}cdotfrac{asqrt3}{2}=1,5a$

 

в) Найти площадь боковой поверхности - самая простая часть этого задания:

$S_6_o_k=Ph$, где $P$ и $h$ - периметр основания и высота пераллелепипеда соответственно.

$S_6_o_k=4acdot1,5a=6a^2$

 

 

г) $S=S_6_o_k+2S_O_C_H=6a^2+2acdotfrac{asqrt{3}}{2}=6a^2+a^2sqrt{3}=a^2(6+sqrt{3})$