Question

Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4+sin^2 альфа

Answer 1

$sf sin^2alpha=dfrac{1-cos2alpha}{2}$

Косинус изменяется от -1 до 1, тогда, оценим в виде двойного неравенства

$-1leqslant cos2alphaleqslant1\ \ -1leqslant-cos2alphaleqslant1~~~|+1\ \ 0leqslant1-cos2alphaleqslant2~~~|:2\ \ 0leqslantdfrac{1-cos2alpha}{2}leqslant1~~~~~~~~~~Rightarrow~~~~~~ 0leqslantsin^2alphaleqslant1$

$0leqslantsin^2alphaleqslant1~~~~|+4\ \ 4leqslant4+sin^2alphaleqslant5$

Наименьшее значение 4, а наибольшее — 5. Сумма наибольшего и наименьшего значений выражения, равна 5+4 = 9.

Ответ: 9.

Answer 2

|sinα| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin²α  ≤ 1 ⇒ 4 ≤ sin²α + 4 ≤ 5  (1)

Пусть f(α) = sin²α + 4 ;  f(0) = 4 ; f(π/2) = 5 ;  из неравенства ( 1 )

следует , что 4 и 5 наименьшее и наибольшее значения

функции f(α)  и их сумма равна 9

Ответ : 9