Question

В  правильной  шестиугольной  призме  АВСDEFA1B1C1D1E1F1  все  ребра  равны корень из  2 .
Найдите угол между плоскостями BCD1 и ABC1.

Answer 1

Для упрощения записей буду читать, что все ребра равны единице - все равно углы останутся прежними.

 

Введем ПСК с началом координат в центре нижнего основания (см. рисунок). Будем искать уравнения плоскостей. Уравнения имеют вид Xx+Yy+Zz=D.

Координаты точек:

$<var>A(-\frac12,\frac{\sqrt3}2,0);\;C(\frac12,\frac{\sqrt3}2,0); \;B(1,0,0);\;O(0,0,1)</var>$

Плоскости a1 принадлежат точки B, C, O; поэтому ее уравнение находится из системы

$<var>\begin{cases} X=D\\ \frac12X+\frac{\sqrt3}2Y=D\\ Z=D \end{cases}</var>$

Решив систему, получаем уравнение плоскости

$<var>\sqrt3x+y+\sqrt3z=\sqrt3</var>$

Аналогично, для второй плоскости

$<var>x+\sqrt3y+z=1</var>$

 

Отсюда получаем вектора нормалей для плоскостей:

$<var>\vec{n}_1=(\sqrt3,1,\sqrt3)</var>$

$<var>\vec{n}_2=(1,\sqrt3,1)</var>$

 

По формуле, можно найти косинус угла между плоскостями:

$<var>\cos(\alpha_1,\alpha_2)=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{3\sqrt3}{7\cdot5}=\dfrac{3\sqrt3}{35}</var>$

 

Искомый угол - арккосинус.