Question

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиус окружности, описанной около него 25см, а периметр треугольника 12 см?

Answer 1

Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром

Пусть наш прямоугольный треугольник авс тогда гипотенуза с=2*R = 5см (R- дано =2,5)

Площадь нашего прямоугольного треугольника равна 1/2ав = 6см². Сумма квадратов еатетов равна квадрату гипотенузы а² + в² = с² или а² + в² =25см². Но из формулы площади

имеем 1/2ав = 6, а 2ав = 24. Имеем систему из двух уравнений:

2ав = 24

а² + в² = 25

Складываем оба уравнения и имеем а² +2ав +в² = 24+25 = 49. Но это же формула квадрата суммы!

Тогда (а+в)² = 49, и  а+в = 7. Да плюс с=5 имеем периметр а+в+с = 12.

Есть формула: площадь треугольника равна S=p*r, где р - полупериметр треугольника, а

 - радиус вписанной в него окружности. Имеем r = S/p = 6|6 = 1см , что и надо было найти