Question

Розвязати нерівність sqrt(2x-1)+sqrt(x+15)<5.

Answer 1

$sqrt{2x-1}+sqrt{x+15} textless 5$ Возведём в квадрат, не забывая про ОДЗ: 
$sqrt{2x-1}+sqrt{x+15} textless 5 \ Leftrightarrow begin{cases} 2x-1geqslant0 \ x+15geqslant0 \ 2x-1+2sqrt{(2x-1)(x+15)}+x+15 textless 25 end{cases}$
$Leftrightarrow begin{cases} xgeqslantfrac{1}{2} \ xgeqslant-15 \ 3x+14+2sqrt{2x^2+30x-x-15} textless 25 end{cases}$
$Leftrightarrow begin{cases} xgeqslantfrac{1}{2} \ 2sqrt{2x^2+29x-15} textless 11-3x end{cases}$
Второе неравенство снова возводим в квадрат, не забывая про неотрицательность правой части. (Неотрицательность подрадикального выражения уже учтена ОДЗ.)
$Leftrightarrow begin{cases} xgeqslantfrac{1}{2} \ 4(2x^2+29x-15) textless (11-3x)^2 \ 11-3xgeqslant0 end{cases}$
$Leftrightarrow begin{cases} xgeqslantfrac{1}{2} \ 8x^2+116x-60 textless 121-66x+9x^2 \ xleqslantfrac{11}{3} end{cases}$
$Leftrightarrow begin{cases} frac{1}{2}leqslant xleqslantfrac{11}{3} \ x^2-182x+181>0 textgreater 0 end{cases}$
$Leftrightarrow begin{cases} frac{1}{2}leqslant xleqslantfrac{11}{3} \ left[begin{array}{l} x textgreater 181 \ x textless 1 end{array}right. end{cases}$
$Leftrightarrowleft[begin{array}{l} begin{cases} frac{1}{2}leqslant xleqslantfrac{11}{3} \ x textgreater 181 end{cases} \ begin{cases} frac{1}{2}leqslant xleqslantfrac{11}{3} \ x textless 1 end{cases} end{array}right.$
$Leftrightarrow left[begin{array}{l} varnothing \ frac{1}{2}leqslant x textless 1 end{array}right.$


Ответ: $xin[frac{1}{2};1).$