Question

Докажите что при любом целом значении x выражение x^3+41x делится на 6

Answer 1

Множество целых чисел $mathbb{Z}$ разделим на три класса:
$mathbb{Z} = mathbb{Z}_0 + mathbb{Z}_1 + mathbb{Z}_2$, где + обозначает операцию объединения и изначает, что множества $mathbb{Z}_0,mathbb{Z}_1,mathbb{Z}_2,$ дисъюнктны.
$mathbb{Z}_0 = {a in mathbb{Z} | exists{b in mathbb{Z}: a = b*3}}$
$mathbb{Z}_1 = {a in mathbb{Z} | exists{b in mathbb{Z}: a = b*3+1}}$
$mathbb{Z}_2 = {a in mathbb{Z} | exists{b in mathbb{Z}: a = b*3+2}}$
Данное разделение множества целых чисел существует по принципу решета Эрастофена.
$x equiv 0 (mod 6) Leftrightarrow x equiv 0 (mod 2) land x equiv 0 (mod3)$
$x^3 + 41x = x(x^2 + 41)$.
Так как при четном x выражение делится на два, а при нечетном $x^2 + 41$ делится на два (сумма нечетных чисел четна), то есть выражение все равно делится на два, первое условие выполнено. Докажем, что x делится на 3:
Так как $x in mathbb{Z} = mathbb{Z}_0 + mathbb{Z}_1 + mathbb{Z}_2$, то рассмотрим три случая:
1) $x in mathbb{Z}_0 Rightarrow x^3 + 41x equiv 0 (mod 3)$ так как $x^3 + 41x = x(x^2+41)$.
2) $x in mathbb{Z}_1 Rightarrow exists{b in mathbb{Z} : x = 3b + 1}$
$x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 1 + 41 = 3*m + 42 = 3*n$ для каких-то $m,n in mathbb{Z}$, то есть $x^3+41x equiv 0 (mod 3)$.
3) $x in mathbb{Z}_2 Rightarrow exists{b in mathbb{Z} : x = 3b + 2}$.
$x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 4 + 41 = 3m + 45 = 3n$ для каких-то $m,n in mathbb{Z}$, то есть $x^3+41x equiv 0 (mod 3)$.
Тогда для всех $x in mathbb{Z}$ выражение $x^3+41x$ делится на 6.