Question

Даны уравнения диагоналей квадрата 4x-5y+3=0 и 5x+4y-27=0, координаты одной из его вершин A(-1;8). Составить уравнение всех сторон квадрата

Answer 1

Находим координаты точки пересечения диагоналей (точка О) - это и центр квадрата, и центр описанной окружности.
4x-5y+3=0 |x4,     16x-20y+12=0,
5x+4y-27=0|x5,     25x+20y-135=0  
                            --------------------
                            41x      -123  =0,
                               x = 123/41 = 3.
  y = (4x+3)/5 = (4*3+3)/5 = 15/5 = 3.
 
 Так как вершины квадрата лежат на описанной окружности, то решаем систему уравнений окружности и диагоналей.
Находим радиус окружности как расстояние от точки А до точки О.
$R= sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2} = sqrt{(3+1)^2+(3-8)^2}= sqrt{16+25} =$$sqrt{41} .$
$left { {{(x-3)^2+(y-3)^2=41} atop {4x-5y+3=0}} right.$
Решением являются координаты точек В и Д:
В: (8;7), Д: (-2;-1).
Аналогично решаем со второй диагональю и получаем координаты точки С: (7;-2).
Имея координаты вершин, находим уравнения сторон:
- в канонической форме:
$AB: frac{x+1}{9} = frac{y-8}{-1}$
общее ВС -9 Х + 1 У + 65 = 0,
            СД :  Х + 9 У + 11 = 0,
            АД : -9 Х + 1 У + -17 = 0.          

Answer 2

Спасибо большое