Question

В правильной призме АВСДА1В1С1Д1 сторона основания равна 1 боковое ребро 2 точка Е середина ребре АА1 найти расстояние от А до плоскостиВЕД.

Answer 1

Расположим призму в системе координат вершиной В в начало координат, ребро АВ по оси ОХ, ребро ВС по оси ОУ.

Получим координаты точек:
Е(1;0;1), В(0;0;0), Д(1;1;0) и А(1;0;0).

Находим уравнение плоскости ВЕД, решив матрицу:
  x-1   y-0    z-1
  0-1   0-0    0-1
  1-1   1-0   0-1 = 0.

x - 1   y - 0    z - 1

   -1       0       -1

    0       1        -1 = 0

(x - 1)(0·(-1)-(-1)·1) - (y - 0)((-1)·(-1)-(-1)·0) + (z - 1)((-1)·1-0·0) = 0

1(x - 1) + (-1)(y - 0) + (-1)(z - 1) = 0

x - y - z = 0.

Теперь находим расстояние от А до плоскости ВЕД по формуле:

$d= frac{|A*Mx+B*My+C*Mz+D|}{ sqrt{A^2+B^2+C^2} }$

Подставим в формулу данные

d = |1·1 + (-1)·0 + (-1)·0 + 0|/√(1² + (-1)² + (-1)²) =
 |1 - 0 - 0 + 0|/√(1 + 1 + 1) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,577350269.

Эту задачу можно решить геометрически.
Расстояние h до плоскости ВЕД - это перпендикуляр из точки А на высоту ЕО равнобедренного треугольника ВЕД.
Если рассмотреть треугольник АЕО, то h - это высота на гипотенузу ЕО.
АО - это половина диагонали основания, равно √2/2.
ЕО = √(1²+(√2/2)²) = √(1+(2/4)) = √6/2 = (√2*√3)/2.
h находим из пропорции подобных треугольников:
$frac{h}{AE} = frac{AO}{EO}$
$h= frac{AE*AO}{EO}= frac{1* frac{ sqrt{2} }{2} }{ frac{ sqrt{2}* sqrt{3} }{2} } = frac{1}{ sqrt{3} } =$ 0,57735.