Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке Е стороны ВС. Докажите, что Е – середина ВС.



2. В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD. Известно, что AD= 2, уголАВD = уголАСD = 90градусов и расстояние между точками пересечения биссектрис треугольников АВD и АСD равно корень из 2. Найдите длину стороны ВС.

Answer 1

Обозначим угол A параллелограмма за a, угол B параллелограмма за b. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, тогда a+b=180. Рассмотрим треугольник ABE. Так как AE - биссектриса угла A, угол BAE равен a/2. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, BEA=180-b-a/2=a/2. То есть, в треугольнике равны углы BAE и BEA, тогда он равнобедренный и AB=BE. 

Аналогично, угол C равен углу А и равен а, угол D равен b. В треугольнике CDE угол CDE равен b/2, так как DE - биссектриса. Тогда угол DEC равен 180-a-b/2=b/2. Таким образом, треугольник CDуравнобедренный и EC=CD. Так как AB=CD, BE=EC, тогда E - середина BC, что и требовалось.