Question

Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описана окружность. К - точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Угол ВKС = 60 градусов, АВ = 43, DС = 4. Найти радиус описанной окружности.

Answer 1

$ABCD -$  выпуклый четырехугольник,  вписанный в окружность

$AC$ ∩ $BD=K$

∠ $BKC=60к$

$AB=43$

$DC=4$

Воспользуемся:

Для произвольного треугольника ABC выполняется равенство  $frac{a}{sinA} =2R,$  где a - длина стороны, лежащей против угла А, R - радиус описанной окружности. 

$1)$

Пусть ∠ $KBC= alpha$, а ∠ $KCB= beta$

Рассмотрим Δ $KBC:$

$textless BKC+ textless KBC+ textless KCB=180к$

$60к+ alpha + beta =180к$

$alpha + beta =120к$

$2)$

Δ $ABC$ вписан в окружность, тогда 

$frac{AB}{sin beta }=2R$

$frac{43}{sin beta } =2R$

$3)$

Δ $DBC$ вписан в окружность, тогда 

$frac{DC}{sin alpha } =2R$

$frac{4}{sin alpha } =2R$

$frac{43}{sin beta }= frac{4}{sin alpha }$

$alpha + beta =120к$

$beta =120к- alpha$

$frac{43}{sin (120к- alpha ) }= frac{4}{sin alpha }$

$43 sin alpha =4sin(120к- alpha )$

$sin (120к- alpha )=sin 120кcos alpha -sin alpha cos120к= frac{ sqrt{3} }{2}cos alpha -sin alpha *(- frac{1}{2})$$=frac{ sqrt{3} }{2}cos alpha + frac{1}{2}sin alpha$

$43sin alpha =4(frac{ sqrt{3} }{2}cos alpha + frac{1}{2}sin alpha)$

$43sin alpha =2sqrt{3} }cos alpha +2sin alpha$

$41sin alpha =2sqrt{3} }cos alpha$

$(41sin alpha)^2 =(2sqrt{3} }cos alpha)^2$

$1681sin^2 alpha =12cos^2 alpha$

$1681sin^2 alpha =12(1-sin^2 alpha)$

$1681sin^2 alpha =12-12sin^2 alpha$

$1693sin^2 alpha =12$

$sin^2 alpha = frac{12}{1693}$

$sin alpha = sqrt{ frac{12}{1693} }$

$4)$

$frac{4}{sin alpha } =2R$

$frac{4}{ sqrt{ frac{12}{1693} } } =2R$

$frac{4}{ frac{2 sqrt{3} }{ sqrt{1693} } } =2R$

$frac{2 sqrt{1693} }{{ sqrt{3} } } =2R$

$frac{ sqrt{1693} }{{ sqrt{3} } } =R$

$R= sqrt{ frac{1693}{3} }$