Question

доказать, что когда а²+b²+c²=ab+ac+bc, то а= b=c

Answer 1

$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac.$
Из неравенства Коши ($sqrt{xy} leq frac{x+y}{2}$) имеем:

$ab leq frac{(a+b)^2}{4}, bc leq frac{(b+c)^2}{4}, ac leq frac{(a+c)^2}{4}.\ ab leq frac {a^2+2ab+b^2}{4}= frac{a^2+b^2}{4}+frac{ab}{2};\ ab leq frac{a^2+b^2}{2}.$

Аналогично для bc и ac.
$ab+bc+ac leq frac{a^2+b^2}{2} + frac{b^2+c^2}{2} + frac{a^2+c^2}{2} = a^2+b^2+c^2.$
Равенство в этом выражении достигается лишь при условии, что 
$a = b, b = c, a = c.$