Question

3(^2n+1) + 1 делится на 4
Доказать

Answer 1

Применим здесь метод математической индукции.
1) При n=1 имеем: 
3^(2*1+1)+1=28
28 делится на 4

что и требовалось доказать...вместо n можно подставить любое число и оно будет делиться на 4

Answer 2

Не соглашусь с предыдущим ответом. На доказательство не тянет, так как кратность результата при n=1 может быть совпадением. Однако, про мат. индукцию верно, но не все так просто))

Итак: доказываем, что $3^{2n+1}+1$ кратно 4.
Пусть при n=k, верно, что $3^{2n+1}+1$ делится на 4. То есть
$3^{2k+1}+1=4m$ при некотором целом m.
Докажем, что при n=k+1 наше исходное выражение тоже делится на 4.
Исходное выражение превращается в
$3^{2(k+1)+1}+1 = 3^{2k+3}+1=3*3*3^{2k+1}+1=9*3^{2k+1}+1$
Теперь выразим $3^{2k+1}$ из нашего предыдущего утверждения $3^{2k+1}+1=4m$. Получается
$3^{2k+1}=4m-1$
Подставим его в выражение $9*3^{2k+1}+1$
Получаем 9(4m-1)+1 = 36m-9+1 = 36m-8
Оба слагаемых в конечном результате делятся на 4, из чего можем сделать вывод, что вся сумма тоже делится на 4, а значит выражение $3^{2n+1}+1$ тоже делится на 4.

Метод довольно сложен для восприятия. Если записать его пошагово на бумаге, то можно разобраться. Удачи!