Question

Вычислите интегралы:
1) $intlimits^{12}_2 frac{dx}{ sqrt{3x-1} }$
2) $intlimits^{12}_4 frac{dx}{ sqrt{2x+1} }$
3) $intlimits^3_2 frac{2x^{3}+ x^{2} +2x+ 1 }{1+ x^{2} } dx$
4) $intlimits^{-2}_{-3} frac{ x^{3}- x^{2} -x+1 }{ x^{2} -1} dx$

Answer 1

1
=2/3*√(3x-1)|12-2=2/3*(√35-√5)
2
=√(2x+1)|12-4=√25-√9=5-3=2

3
(2x³+x²+2x+1)/(1+x²)=[x²(2x+1)+(2x+1)]/(1+x²)=(2x+1)(x²+1)/(1+x²)=2x+1
Под знаком интеграла будет 2х+1 интеграл равен
=x²+x|3-2=9+3-4-2=6
4
(x³-x²-x+1)/(x²-1)=[x²(x-1)-(x-1)]/(x²-1)=(x-1)(x²-1)/(x²-1)=x-1
Под знаком интеграла будет x-1 интеграл равен
=x²/2-x|-2-(-3)=2+2-4,5-3=-3,5

Answer 2

$1); ; int _2^{12}frac{dx}{sqrt{3x-1}}=frac{2}{3}sqrt{3x-1}, |_2^{12}=frac{2}{3}(sqrt{35}-sqrt{5})\\2); ; int _4^{12}frac{dx}{sqrt{2x+1}}= frac{2}{2} cdot sqrt{2x+1}; |_4^{12}=}sqrt{25}-sqrt{9}=5-3=2\\3); ; int _2^3frac{2x^3+x^2+2x+1}{1+x^2}dx=int _2^3 frac{2x(x^2+1)+(x^2+1)}{x^2+1} dx=\\=int _2^3frac{(x^2+1)(2x+1)}{x^2+1}dx=int _2^3(2x+1)dx=frac{1}{2}cdot frac{(2x+1)^2}{2}|_2^3=\\=frac{1}{4}(7^2-5^2)=frac{1}{4}(49-25)=frac{24}{4}=6$

$4); ; int limits _{-3}^{-2}frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}dx=intlimits _{-3}^{-2}frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x^2-1}dx=\\=int limits _{-3}^{-2}frac{(x-1)(x^2-1)}{x^2-1}dx=int limits (x-1)dx=frac{(x-1)^2}{2}|_{-3}^{-2}=\\=frac{1}{2}((-3)^2-(-4)^2)=frac{1}{2}(9-16)=-frac{7}{2}=-3,5$