Question

При каких значениях-а-уравнение |x²+6x|=a имеет два корня?

Answer 1

ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0
Если у данного уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2 , то их сумма и произведение - тоже натуральные числа. тогда по теореме Виета:

x_{1} *x_{2} = frac{3a-5}{a} \

frac{3a-5}{a} = n_{1} , где n1 - нат. число. Тогда

3a-5 = n_{1}*a \
Правая часть данного равенства делится на a, значит и левая должна тоже делиться на a. Слева имеем сумму двух слагаемых, чтобы это сумма делилась на a, надо чтобы оба слагаемых делились на a.

3a делится на а, и 5 должно делиться на а. Т.о. а∈{ -5, -1, 1, 5}.

Подставляем поочередно эти значения а в выражение frac{3a-5}{a} .

a=-5, frac{3*(-5)-5}{-5}= frac{-20}{-5}= 4 \ a=-1, frac{3*(-1)-5}{-1}= frac{-8}{-1}= 8 \ a=1, frac{3*1-5}{1}= frac{-2}{1}= -2 \ a=5, frac{3*5-5}{5}= frac{10}{5}= 2 \

Т.о. натуральное значение выражение принимает при а=-5, а=-1 и а=5.
По т.Виета x_{1} + x_{2} = frac{a^2+5}{a} \
Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет натуральным числом:

a=-5; frac{(-5)^2+5}{-5} = frac{30}{-5} = -6 \ a=-1; frac{(-1)^2+5}{-1} = frac{6}{-1} = -6 \ a=5; frac{5^2+5}{5} = frac{30}{5} = 6 \

Итак, уравнение может иметь два различных натуральных корня только при a=5. Проверим будут ли этом значении а корни исходного уравнения натуральными числами.
При a=5. уравнение примет вид:
5 x^{2} - 30x +10 =0 \ x^{2} - 6x +2 =0 \ D = 28
значит корни будут иррациональными.

Ответ: ∅.