Question

Диагонали трапеции равны 8 и 15. Найдите площадь этой трапеции если её средняя линия равна 8,5.

Answer 1

АВСД - трапеция ,  АС=8 см, ВД=15 см, ср. линия = 8,5 см .
Найти S трапеции.
 Проведём прямую СК║ВД до пересечения с АД . 
Получим параллелограмм ВСКД : ВС=КД=8 см.
 Также получим ΔАСК:  АК=АД+ДК=АД+ВС  (сумма оснований трапеции).
Высота СН явл. как высотой ΔАСК, так и высотой трапеции. 
Поэтому площадь ΔАСК равна площади самой трапеции.
Так как дана средняя линия  $l= frac{a+b}{2} =8,5$  , то можно найти длину АК:  $AK=a+b=2cdot 8,5=17$  .
 Теперь ,зная три стороны, можно найти площадь треугольника по формуле Герона.
Но заметим, что боковые стороны ΔАСК :  СК=ВД=15 см и АС=8 см, явл. катетами прямоугольного треугольника, так как

$AC^2+CK^2=8^2+15^2=64+225=289\\sqrt{289}=17=AK$

Поэтому площадь вычислим как полупроизведение катетов:

$S=frac{1}{2}cdot ACcdot CK=frac{1}{2}cdot 8cdot 15=60$